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1. 背景介绍

在信号与系统课程中，讲解线性系统需要同时满足两个特性： 一是叠加性。 当两个输入信号x1、x2分别引起输出y1、y2。 那么x1+x2所引起的系统输出等于y1+y2；第二个特性是齐次性， 输入信号x1引起系统的输出为 y1。 对应a倍的x1引起系统输出是a倍的y1。 这两个特性需要分别进行验证。

2. 相关举例

关于系统的线性两个条件， 在数学中的函数、映射中也有相应的讨论。 叠加性和齐次性是相互独立的两个性质。 通常情况下， 举例说明满足其次关系的系统，不能满足叠加性相对比较容易。 但是举例说明满足叠加性的系统，不能满足齐次性相对困难。 这主要是常见到的工程应用中碰到的系统大体都是实数信号，而且满足连续性。 在这种情况下，满足叠加性的系统往往就能够满足齐次性。

根据维基百科中关于数学中线性的定义， 对于限定尺度数字a为有理数时， 叠加性意味着线性，并给出了简要的证明。 对于连续函数， 可以将比例系数a放宽到实数范围。 这是根据有理数在实数范围内具有稠密特性来决定的。

One short-of-linear functon: Does f(x+y)=f(x)+f(y) imply f(ax)=af(x)?

Additivity and Homogeneity[1]

https://www.maa.org/sites/default/files/0746834255345.di020786.02p04776.pdf

Additive but not homogeneous continuous system?[2]

https://dsp.stackexchange.com/questions/19522/additive-but-not-homogeneous-continuous-system

Wikipedia article on linear system[3]

http://en.wikipedia.org/wiki/Linearity#In_mathematics

在这篇“课堂胶囊”网文中，作者总结本科数学教学经验，给出了叠加性与齐次性的讨论。并给出了一些反例。如果齐次性的比例系数放宽到复数，作者给出了一个最常见到的映射关系。比如T7，取输入信号的实部，它满足叠加性。如果尺度数字是复数的情况下，这个映射不满足其次特性。

在这篇博文中对满足叠加性是否预示着齐次性进行了讨论。作者构造了一个实数域内的一个映射，满足叠加性但不满足齐次性。下面我们看一下这个例子。

定义在有理数向量空间的一个映射Q。对于每一有理数对（a,b），它们对应的一个实数a加上b倍的根号2。经过映射后等于有理数a+b，很容易验证这个映射在向量空间Q中满足叠加性。构造比例因子alpha，可以验证在alpha尺度下，这个映射不满足齐次性。

对于这个反例，作者也认为存在一定缺陷，比如这个比例因子不属于原来向量空间Q，而是属于向量空间Q，根号2。这个例子也说明，构建实数域内的反例不是太容易。

3. 总结

本文讨论了信号与系统中的线性概念。 在数学概念中，线性系统需要同时满足叠加性和齐次性。 但在实际常见到的连续时间系统中， 都是实数信号，且都满足连续性。 所以只要满足叠加性就可以了。

关键词： 系统 线性