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摘要：今天的低功耗微控制器(μC)也开始集成原先只存在于大型微处理器、ASIC和DSP中的外设功能，使我们有可能以很低的功耗实现复杂的算术运算。本文讨论一种快速傅立叶变换(FFT)应用，并在一个含有单周期硬件乘法器的低功耗μC上实现该应用。

这个FFT应用实时计算一路输入电压(图1中的VIN)的频谱。为完成该任务，用一片模数转换器(ADC)对VIN进行采样，获得的采样传送给µC。然后，µC对这些采样执行256点FFT运算，获得输入电压的频谱。为便于检测，µC将计算出的频谱数据传送给PC，由PC实时显示出来。


图1. 利用FFT应用计算输入电压的频谱。

该FFT应用的固件针对MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗µC用C语言编写。有兴趣的读者可以下载(ZIP，2.4kb)该项目的固件和电路原理图。

背景知识

为确定输入信号采样的频谱，我们需要对这些输入采样进行离散傅立叶变换(DFT)。DFT的定义如下：



其中N是采样的数量，X(k)是频谱，x(n)是一组输入采样。利用欧拉等式展开求和符，并分离输入采样和频谱的实部和虚部，得到以下等式：





式2和3中，求和符中第二项的消失是由于输入采样全部为实数。假定我们有N个采样，直接计算式2和3需要2N²次乘法和2N(N - 1)次加法。这样，我们的256点输入采样DFT将需要进行131,072次乘法和130,560次加法运算。我们还是将注意力转向FFT吧！

有多种FFT算法可供使用。本应用采用普通的radix-2算法，继续将DFT分解为两个更小的DFT。为此，N必须是2的指数。这种radix-2 FFT算法的步骤可归纳如图2所示的蝶型运算。观察这些蝶型运算我们可以发现，radix-2算法仅需(N / 2)log2(N)次乘法和Nlog2(N)次加法。图2中用到的参数WN就是通常所谓的“旋转因子”，可以在执行算法前预先计算出来。


图2. 利用蝶型运算实现N = 8的FFT。

在图2中，FFT的输入显示为一种特殊的排列顺序，这种序列是对原始序列索引号的二进制位反转后得到的。因此，当我们对N = 8个采样执行radix-2 FFT算法时，需要将输入数据的原始序列：

0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)

重新排列为：

0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)

FFT输出则以正确的顺序排列。图2还说明，每个单独的蝶型运算所得的结果，是下一级FFT运算所需的唯一数据。由于运算过程可“即位”进行，新值可替代旧值，这样，计算N个采样的FFT只需要2N个变量(因为每个数据都包括实部和虚部两部分)。

FFT完成后，结果为复数形式。式4和5将结果转换为极坐标方式后表示为：





有关DSP的文献中可以找到很多优化方法，可使上述DFT/FFT算法更小或更快。其中最重要的一种优化方法(可能也是最容易实现的)源于这样一个事实，那就是作为一个实数信号，其DFT幅度是相关于X(N / 2)对称的，因此：



编写FFT代码绝非易事。低功耗µC的一些局限又进一步使该任务复杂化。

存储器：我们所选的µC有2kB的RAM。已经知道该算法需要用到2N个16位变量来存储FFT数据，这样，我们的µC可以执行N最高为512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此项目中，我们限制N于256。若采用16位变量来表示每个值的实部和虚部，FFT数据总共需要1024字节的RAM。

速度：低功耗µC尽管具有高MIPS/mA性能，仍然需要一些优化手段来使运行FFT的指令数尽可能少。好在本应用所用的C编译器(IAR的Embedded Workbench for MAXQ，见www.iar.com)可提供多种级别的优化和设置。高效地使用硬件乘法器可使代码优化到可以接受的水平。

无浮点能力：所选的µC不具备浮点能力(低功耗产品一般都不具备浮点能力)。因此，所有运算都必须采用定点算法。为了表示小数，固件采用带符号的Q8.7表示法。这样，在固件中假定：

• 第0位至第6位代表小数部分

• 第7位至第14位代表整数部分

• 第15位代表符号位(二的补码)

这样的安排对于加法和减法没有影响，但在做乘法时必须注意将数据按照Q8.7格式对齐。



所选的数据表示法还要适应FFT算法可能遇到的最大数值，同时又要提供足够的精度。例如，我们的ADC可提供带符号的8位采样，以二的补码表示。如果输入为最大幅度(对于带符号8位采样为127)的直流电压，则其能谱全部包含于X(0)中，用Q8.7表示为32512。这个数值能够由单个带符号的16位数据表示。

固件

以下部分讨论在低功耗µC上执行radix-2 FFT的固件实现。信号采样由ADC读出后被存储在x_n_re数组中。这个数组代表x(n)的实部。虚部存储在x_n_im数组中，在开始运行FFT前初始化为零。完成FFT后，计算结果取代原始采样数据，被存储在x_n_re和x_n_im中。

获取采样

FFT算法假定采样是以固定的取样频率获得的。在为FFT获取采样时如果不加小心将会产生一些问题。例如，采样间隔的抖动就会给FFT结果引入误差，应尽力减小之。

ADC采样循环中的判决语句会造成采样间隔的抖动。例如，我们的系统从ADC读取带符号的8位采样，并将其存储在一组16位变量中。在下面的程序清单1中给出了两种伪码算法，执行这种ADC读取-存储功能。算法1给出的方法会造成采样间隔的抖动，因为负采样比正采样需要更多的时间来读取并存储。

清单1. 两种ADC采样伪码算法。第二种算法避免了第一种的问题――采样间隔抖动。

// ALGORITHM 1: INCONSISTENT SAMPLING FREQUENCY - BAD!
// sample[] is an array of 16-bit variablesfor i = 0 to (N-1)begindoADCSampleConversion()             
// Instruct ADC to sample Vinsample[i] = read8BitSampleFromADC() 
// Read 8-bit sample from ADCif (sample[i] & 0x0080)             
// If the 8-bit sample was negaTIvesample[i] = sample[i] + 0xFF00 
// Make the 16-bit word negaTIveend
// ALGORITHM 2: FIXED SAMPLING FREQUENCY - GOOD!
// sample[] is an array of 16-bit variablesfor i = 0 to (N-1)begindoADCSampleConversion()             
// Instruct ADC to sample Vinsample[i] = read8BitSampleFromADC() 
// Read 8-bit sample from ADCendfor i = 0 to (N-1)beginif (sample[i] & 0x0080)             
// If the 8-bit sample was negaTIvesample[i] = sample[i] + 0xFF00 
// Make the 16-bit word negaTIveend

三角函数表

本FFT算法通过查表(LUT)而非计算得到正弦或余弦函数值。程序清单2给出了对于正弦和余弦LUT的申明。实际固件的注释中包含了自动生成这些LUT的源代码，可由程序调用。两个LUT均含有N / 2分量，因为旋转因子的索引号变化范围为从0至N / 2 - 1 (见图2)。

清单2. 正弦和余弦函数LUT。

const int cosLUT[N/2] = {+128,+127,+127, ... ,-127,-127,-127};
const int sinLUT[N/2] = {+0  ,+3  ,  +6, ... ,+9  ,  +6,  +3};

这些LUT中的数组被声明为const，强制编译器将它们存储于代码空间而非数据空间。由于LUT数值须采用Q8.7表示法，它们由正弦和余弦的实际值乘以27后得到。

位反转

位反转排序(N已知)可在运行时通过计算、查表或直接利用展开循环编写。所有这些方法都需要在源代码的尺寸和运行速度间进行折衷。本FFT应用利用展开循环进行位反转，其源代码较长，但运行速度快。程序清单3显示了该展开循环的实现。本应用固件的注释中包含了用于程序自动生成展开循环的源代码。

清单3. 用于实现N = 256的位反转的展开循环。

i=x_n_re[  1]; 
x_n_re[  1]=x_n_re[128];
 x_n_re[128]=i;
 i=x_n_re[  2]; 
 x_n_re[  2]=x_n_re[ 64]; 
 x_n_re[ 64]=i;i=x_n_re[  3]; 
 x_n_re[  3]=x_n_re[192]; 
 x_n_re[192]=i;i=x_n_re[  4]; 
 x_n_re[  4]=x_n_re[ 32]; 
 x_n_re[ 32]=i;
 ...i=x_n_re[207]; 
 x_n_re[207]=x_n_re[243]; 
 x_n_re[243]=i;
 i=x_n_re[215]; 
 x_n_re[215]=x_n_re[235]; 
 x_n_re[235]=i;i=x_n_re[223]; 
 x_n_re[223]=x_n_re[251]; 
 x_n_re[251]=i;i=x_n_re[239]; 
 x_n_re[239]=x_n_re[247]; 
 x_n_re[247]=i;

Radix-2 FFT算法

采样按照位反转方式重新排序后就可进行FFT运算了。本radix-2 FFT应用的固件通过三个主循环执行图2所示的蝶型运算。外循环计数log2(N)级FFT运算。内循环执行每一级的蝶型运算。

FFT算法的核心部分是执行蝶型运算的一小块代码。程序清单4给出了这一块代码，遗憾的是，它是本应用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用µC的硬件乘法器执行单指令周期乘法运算。这些宏的内容专用于MAXQ2000，可在实际固件中全部看到。

清单4. 用C编写的蝶型运算。

/* (1) Macro MUL_1(A,B,C): C=A*B      (result in Q8.7)*/
/* (2) Macro MUL_2(A,C)  : C=A*last_B (result in Q8.7)*/
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_re[b],resultMulReCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulReSin);
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_im[b],resultMulImCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulImSin);
x_n_re[b] = x_n_re[a]-resultMulReCos+resultMulImSin;
x_n_im[b] = x_n_im[a]-resultMulReSin-resultMulImCos;
x_n_re[a] = x_n_re[a]+resultMulReCos-resultMulImSin;
x_n_im[a] = x_n_im[a]+resultMulReSin+resultMulImCos;

复数的极坐标转换

为了便于确定VIN频谱的幅度，我们须要将复数形式的X(k)转换为极坐标形式。实现该转换的固件示于程序清单5。幅度值取代了原始的FFT结果，因为固件不再需要这些数据。

清单5. FFT结果从复数形式转换为极坐标形式。

const unsigned char magnLUT[16][16] ={
{0x00,0x10,0x20, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
{0x10,0x16,0x23, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
...
{0xe0,0xe0,0xe2, ... ,0xff,0xff,0xff},
{0xf0,0xf0,0xf2, ... ,0xff,0xff,0xff}
};
......
/* Compute x_n_re=abs(x_n_re) and x_n_im=abs(x_n_im) */
......
x_n_re[0] = magnLUT[x_n_re[0]>>11][0];
for(i=1; i>11][x_n_im[i]>>11];x_n_re[N_DIV_2] = magnLUT[x_n_re[N_DIV_2]>>11][0];

频谱幅度并非根据式4计算得到，而是通过一个二维LUT查表得到。第一索引为频谱实部的高4位(MSB)，第二索引为频谱虚部的高4位。为得到这些数据，可将带符号的16位数据右移11次。在从频谱的实部和虚部取得索引号前，需首先将它们转换为绝对值。因此，符号位为零。

从式6我们已经知道，频谱的幅度是关于X(N / 2)对称的，因此我们只需将前(N / 2) + 1个频谱数据转换为极坐标形式。还有，我们可以看到，对于实数输入采样，X(0)和X(N / 2)的虚部总为零。因此这两条谱线的幅度被单独计算。本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成该LUT的源代码，可由程序调用来计算X(k)的幅度。

Hamming或Hann窗

此项目固件还包括了对输入采样加Hamming或Hann窗的LUT (Q8.7格式)。加窗函数可有效降低对时域采样x(n)的舍入操作所引起的频谱泄漏。Hamming和Hann窗函数分别如式7和8所示。





程序清单6给出了实现这些函数的代码。同样，本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成这些LUT的源代码，可由程序调用来实现这些窗函数。

清单6. 用来实现Hamming和Hann窗函数的LUT。

const char hammingLUT[N] = {+10, +10, +10, ... ,+10, +10, +10};
const char hannLUT[N]    = { +0,  +0,  +0, ... , +0,  +0,  +0};
......
for(i=0; i<256; i++){
#ifdef 
WINDOWING_HAMMINGMUL_1(x_n_re[i],hammingLUT[i],x_n_re[i]); 
// x(n)*=hamming(n);
#endif
#ifdef 
WINDOWING_HANNMUL_1(x_n_re[i],hannLUT[i]),x_n_re[i]);   
// x(n)*=hann(n);#endif}

测试结果

为了测试该FFT应用的性能，固件将X(k)幅度通过µC的UART端口上传给PC。专门编写的FFT Graph软件(随该项目固件一起提供)用于从PC串口读取这些幅值，并以图形方式实时显示频谱。图3显示了µC以200ksps采样四种不同输入信号并处理后，由FFT Graph所显示出来的结果：

1. 4.3V直流信号

2. 50kHz正弦信号

3. 70kHz正弦信号

4. 6.25kHz方波

图3. FFT Graph软件显示的由低功耗µC计算出的频谱。

接下来干什么？

有兴趣的读者还可以花费大量的时间来继续优化和重新配置该FFT应用。尽管在本文中我们选择了radix-2算法，还有很多其他算法可以显著降低加法和乘法运算量。很多本文所未提及的优化可以提升FFT的速度。例如，作为纯实数的输入采样，其虚部总为零，频谱中只有前半部分有实际意义。利用这一点，第一级和最后一级FFT的执行速度可进一步优化，但需要付出更多的程序空间。

总之，本文所讨论的算法对于低功耗µC上的FFT应用而言，提供了一个很好的出发点。如果想了解更多信息和具体实现的细节，请查阅我们为本应用所提供的、带有详细注释的固件信息。

关键词： 控制器 FFT