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前面我们从代数角度出发讨论了控制系统稳定性的定义和劳斯－赫尔维茨稳定判据。本节介绍判别系统稳定性的另一种判据――奈奎斯特稳定判据。该判据是根据开环频率特性来判定闭环系统的稳定性。同时，它还能反映系统的相对稳定的程度，对于不稳定的系统，判据与劳斯稳定判据一样，还能确切回答闭环系统有多少个不稳定的特征根。

对于图5－34所示的反馈控制系统，闭环传递函数为：

(5-38)

其特征方程式为

(5-39)

令

(5-40)

将式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零点，也是闭环特征方程式的根； 、 、…、 是 的极点，也是开环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的充分必要条件，要使闭环系统稳定，特征函数 的全部零点都必须位于s平面的左半平面上。

5.4.1 辐角原理

由于 是s的有理分式，则由复变函数的理论知道， 除了在s平面上的有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函数。因而对于s平面上的每一点，在 平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对s平面上任意一条不通过 的极点和零点的闭合曲线 ，在 平面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应，如图5－35所示。若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向运动，则其在 平面上的映射曲线 的运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于复变函数 本身的特性。在此我们感兴趣的不是映射曲线 的具体形状，而是它是否包围 平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，因为它与系统的稳定性有着密切的关系。

图5－35　s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线

由式（5-41）可知，复变函数 的相角为

(5-42)

假设s平面上的闭合曲线 1 2 3 4 5 6

关键词： 频率响应 奈奎斯特 稳定判据

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